2312月

科学松鼠会 » 拓扑学简介(三)

本文作者:季候风

相互关系文字  拓扑学简介(一),拓扑学简介(二)

庞加莱 19 世纪末 20 法国强有力的世纪=mathematics家,当初他和希尔伯特在德国指引=mathematics场地。,黎曼和高斯是继续进行的。:庞加莱深化洞察物质的追赶入洞穴给了他东西弱小的和无,Riemann of the年;希尔伯特的小巧易携带的性,渊深,仔细入微地深思,为 20 首要的代数中数论和代数几何模型的开展。庞加莱拓扑学和希尔伯特代数几何模型,像砰然扔下的量子实际和爱因斯坦的相关性。,彻底更衣了整个的学科的根本受精。。

这篇文字是沉思引见两个受精引见点。:“同式发育染色体群”“根本群”。他们在几何模型体的美质代数的表现。

庞卡莱对某人找岔子,提出异议东西几何模型体转移美质的关键在于几何模型学有它本身的程度吗?,它是休息几何模型体的程度吗?。比方,为是什么来回旋转和程度不一样,这是因圆盘有程度,球体缺乏程度。;为是什么球体不一样于煞车外景,这是因躲进地洞上的随便哪一个拳击场的一份是作为程度,比如,赤道是北极的程度。,煞车外景的环责备T的随便哪一个命运注定的程度。。

在第有个传说说,莱布尼兹梦想用标准来表达少许转移的几何模型美质。200积年后庞卡莱终究变卖了梦想,他与自然程度的数目。率先,将几何模型体分为根本结合命运注定(点)。,边,三边形,四面体,…),比方,你可以在东西球体上画四点。,此后将它们连接到22(缺乏和睦和睦),有六点掷还,这些边到外景成四。,这是东西球体。拆分(领会左)。剖分的根本结合成份叫做单形 0 Dimensional simplex, 1 Dimensional simplex,(怀抱)是 2 Dimensional simplex,等等及其他只想想看一下 3 Dimensional simplex是什么

以先前分解过的球体为例。,顶峰 A, B, C, D 0 Dimensional simplex,边 AB, AC, AD, BC, BD, CD 1 Dimensional simplex,三边形 ABC, ABD, ACD, BCD 2 Dimensional simplex (以防 ABC, ACD 它是南半球的地域。,那 ABD, BCD 它包孕南半球) 。因考察是圆的,替代球体,因而缺乏超越三维的单磁道。

庞加莱单形把东西系数在前(圆整数),装出他们可以补充,又兼并同类项。这种表达方式高价地比方

(3 AB – 2 BC) + (AC – 5 BC) = 3 AB – 7 BC + AC.

几何模型意义的优缺点后面东西模型,“排列展出”。在 1规模的展出是正面的展出。,比方,AB 是从 A B 的边,-AB 它是从 B A 的边,亦即 BA,因而 BA = – AB. 正方形展出复杂,但本质上,它与顶峰的按次关系到。,更衣两个顶峰将更衣展出。,

ACB = – ABC。

鉴于每东西 n 单形程度一些 n-1 单形结合,因而求程度可以用作手术,效能上,接待另东西,每个工程的规模都决不有重大意义的规模的规模。在寻觅程度的审核中,状态同样东西要紧要素,尽管 AB 程度是两点 A B, 但要表现指导性,规则 AB 程度 ( B – A ). 此科学实验报告可以扩展到高维链。,你何妨有机会。。

以防用 d程度运算,排列展出性科学实验报告,它在球剖分的各单形上功能列举如下

d (一) = d (B) = d (C) =d (D) =0;

d (AB) = B-A, d (八) = A-B, d (BC) = C-B, ……

d (ABC) = BC-AC+AB, d (BCD) = CD-BD+BC, ……

“链”上的功能,

d (3 AB – 2 BC) = 3 d (AB) – 2 d (BC) = 3 (B-A) – 2 (CB) = -3 A + 5 B – 2 C.

程度具有良好的运转功能。眼睛的轻易看出,团体的程度上缺乏程度。。比方,三边形程度三条边结合的元音缩合链。在生活中我们家说“元音缩合”意义是缺乏程度。。代数是映像,程度霉臭陆续两遍为零。

d [ d (BCD) ] = d [ CD – BD + BC ] = d(cd) – d(BD) + d(BC) = (D-C) – (D-B) + (CB) = 0

现时这尽量的的师的几何模型放紧随其后,他们当中有加减法。(搜集),可以乘以系数,还可以求程度。这将接待东西代数不赞成。,分解后称为几何模型体。链群”。刚过去的不赞成我们家从代数三角剖分方式。

在链组中,可以通审核度计算来计算的链“镶边链”,比方,

2 AB + 2 BC + 2 CA = d ( 2 ABC )

这传达靠人行道的链上涌现的是一则镶边链。。缺乏程度的链叫做“固定链系”。镶边链霉臭逼近。,封固定链系无常的这是东西镶边链庞卡莱发觉,“有多少不等固定链系不这是东西镶边链”刚过去的属性与分解有关。,几何模型中如此的美质的代数表现。。我们家到何种地步提出异议刚过去的属性的代数?学期性陈述所关系到闭它们当中的加减法,数乘,产生依然逼近。,在当选把边链和0,将接待左右的代数不赞成。剖宫产术中不依赖几何模型方式,叫它庞加莱“同式发育染色体群”。

球的同式发育染色体群。有缺乏程度的顶峰,不管怎样两个顶峰当中的种差霉臭是东西程度。,

A-B = d (八)

比照庞加莱空话,A-B 这是东西镶边链,将一般 0, 亦即说,的同式发育染色体群A-B = 0, 或许说 A = B. 左右,本质上独一无二的东西 0 维不赞成,

A = B = C = D,

它可以乘圆整数。,我们家接待球。 0 维同式发育染色体群

{ … , -3A, -2A, -A, 0, A, 2A, 3A, …}

代数不赞成的扩大的人或事物,数乘,持有违禁物圆整数的扩大的人或事物,取同样看待的号码,在=mathematics空话中,球的 0 维同式发育染色体群“同构于”圆整数集。

1 规模链是六点边的结成。,可以通知经过代数运算(线性方程组的解)或几何模型,缺乏程度的 1 规模链常常正方形程度 ( AB + BC + CA ), ( BC + CD + DB), ( AB + BD + DA) 结合,比照庞加莱空话,球上的持有违禁物球体 1 维固定链系都这是东西镶边链,都必不可少的事物的同式发育染色体群一般 0,因而1 维同式发育染色体群是 0.

2 规模链是四面的结成。,x ABC + y ABD + z ACD + w BCD, 这是东西封的学期。

d ( x ABC + y ABD + z ACD + w BCD ) = 0.

感兴趣的对象可以开端计算上述的方程。,比如,第东西工程

d ( x ABC ) = x ( BC – AC + AB ) = x BC – x AC + x AB,

此后兼并每边的系数,使其零值的,就接待 6 个在流行中的 x, y, z, w 的线性方程。这是方程的解。 x = z = -y = -w. 产生传达,每东西二维球体都可以用闭式C写成。

w ( BCD – ACD + ABD – ABC ),

亦即说,类别层次中一直是圆整数倍。。以防类别层次高价地固定链系 s, 球的二维同式发育染色体群是

{ … , -3s, -2s, -s, 0, s, 2s, 3s, … }

整集同构。

简言之,球的 0 Dimensional homology group and 2 维同式发育染色体群都整集同构,1 Dimensional cohomology for 0. 引入东西受精,同式发育染色体群中计入多少不等圆整数?,同式发育染色体群“秩”是多少不等。上同式发育染色体的不一样维数“秩”无规律的加减法,即,0 维数同式发育染色体群的秩减 1 扩大了维数同式发育染色体群的秩。 2 维数同式发育染色体群的秩减 3 维同式发育染色体群的秩……, 接待东西圆整数。A simple calculation in the case,将发觉圆整数究竟是 0 Dimensional simplex数字减去 1 Dimensional simplex数字添加 2 Dimensional simplex数字再减去 3 Dimensional simplex数字……,即,各维度单维数的交织。刚过去的号码你很熟习。,它必不可少的事物在高中几何模型最初提到的,叫做欧拉表明号,东西凸多面体的的外景,它执意 V – E + F, 而且常常量 2. 究竟,持有违禁物凸多面体的的外景在拓扑上是球的。,刚过去的2它是球体各维度的同式发育染色体群。“秩”交织交织,1 – 0 + 1 = 2.

显然,欧拉数是最轻易计算的拓扑不变量。,只需求找到东西细分,此后数一些顶峰和一些边。,添加上部位。

同式发育染色体群告知我们家哪个固定链系不这是东西镶边链,浅显一些说,告知我们家几何模型的怀抱What is closed不赞成的。显然,它是东西比欧拉细的拓扑不变量。。感兴趣的对象可以做=mathematics二几何模型同式发育染色体群。:使响,煞车面。(提示符):率先,把他们分为单一使格式化。)

庞加莱在同式发育染色体群后头发觉,要区别少许三维团体后头他发觉,同式发育群不敷好。比方,与三维SPH同样看待的同式发育染色体群的几何模型团体无常的它是东西三维球体。。这轻率的他找到一笔丧失的东西。的拓扑美质。在这场合,他记起外面有几何模型运算。,执意左右。以防两途径首尾相识开拓一则新路,终究到了!途径的分芽繁殖。嗨有两个成绩要处置,率先,并非持有违禁物两条路都可以相乘。(提出要求端到端can),此后,甚至可以成倍扩大,缺乏乘法的结合律,巧妙地控制不适宜的。庞加莱记起了处理这两个成绩的引起。。他在团体的几何模型学中取东西基点。,从这一些思索回到这一些的方式。,这些路自然相互首尾相连地;此后他规则,以防沿途有一则路可以在团体的几何模型上忍受陆续形状损毁。另一则路 (见结果),这两条路被认为是同一则路。途径类中,左右规则后,途径类他们当中的乘法确信的结合律。这些途径类它也诞生东西代数不赞成。,乘法运算,刚过去的团体叫做几何模型体。根本群,或许1 维同伦群

一些感性认识。划分的根本组独一无二的东西元素。,这条路仍在基点上。。划分里的休息随便哪一个从基点动身回到基点的途径都可以在划分内陆续形状损毁到停顿在基点的途径。我们家称之为只计入东西元素的根本组。平庸的的。再看一周,它的根本组是由持有违禁物圆整数结合的。。圆 n 圆的轨迹不克不及在圆上陆续形状损毁到圆 m 圆的轨迹,而把它们首尾相识的产生执意圆 n+m 圆的轨迹,嗨途径类当中的乘法表现为圆整数间的扩大的人或事物。第三例,球,它的根本组是普通的。,因球上持有违禁物由基点动身的成环都可以在球上陆续形状损毁(滑缩)为停顿在基点的途径 (见左)。有普通根本组的几何模型模型叫单连通的

根本组的计算关涉更深化的细目。,比如,拓扑的挑剔的界说,拓扑投宿当中的熭,等等及其他,嗨不克不及挑剔的解说。。有兴对趣味的更多的投合心意请向对象请教。根底拓扑学》,阿姆斯壮()著;孙一丰的被翻译。

发明了该许多后头,庞卡莱觉得这更精确的的拓扑美质必不可少的事物够了。把三维球从休息三维几何模型区别浮现,但他无法显示出本身。终究到了!誉满天下的庞卡莱猜对:单连通的三维封的几何模型规模霉臭是三。刚过去的猜对及其展开高耸的了代数拓扑学一终生的开展,终极在2004由俄罗斯帝国=mathematics家裴以防人显示出。以防在Pei的人 2006 在当年的=mathematics诺贝尔奖金——菲尔兹奖。

(续)

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